Question

如圖，設(shè)P是等邊△ABC的一邊BC上的任意一點(diǎn)，連接AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，求證：BP•PC=BM•CN．

Answer 1

分析：連接PM，PN，證明△AMN≌△PMN，再證△MPB∽△PNC，即可得出結(jié)論．

解答：證明：連接PM，PN，
∵M(jìn)N垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN為公共邊，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴

BP

NC

=

BM

PC

，
即BP•PC=BM•NC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等問(wèn)題，能夠熟練掌握．