Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C出發(fā)，速度為每秒2cm；點(diǎn)Q在邊AD上，同時(shí)由點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)四邊形ABPQ為平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形ABPQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ的面積是四邊形ABCD的面積的四分之三，并求出此時(shí)∠PQD的度數(shù)．

（4）連結(jié)AP，是否存在某一時(shí)刻t，使△ABP為等腰三角形？并求出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝4s時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形；（2）y＝t+18（0＜t≤6）；（3）∠DQP＝75°；（4）當(dāng)t＝3或或3時(shí)，△ABP為等腰三角形．

【解析】

(1)利用平行四邊形的對(duì)邊相等AQ=BP建立方程求解即可；
(2)先構(gòu)造直角三角形，求出AE，再用梯形的面積公式即可得出結(jié)論；
(3)利用面積關(guān)系求出t，即可求出DQ，進(jìn)而判斷出DQ=PQ，即可得出結(jié)論；
(4)分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，兩腰相等建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，AQ＝12﹣t，BP＝2t，

∵四邊形ABPQ為平行四邊形，

∴AQ＝BP，

∴12﹣t＝2t

∴t＝4，

即：t＝4s時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形；

（2）如圖1，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝6，

∴AE＝3，

由運(yùn)動(dòng)知，BP＝2t，DQ＝t，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝12，

∴AQ＝12﹣t，

∴y＝S四邊形ABPQ＝（BP+AQ）AE＝（2t+12﹣t）×3＝t+18（0＜t≤6）

（3）由（2）知，AE＝3，

∵BC＝12，

∴S四邊形ABCD＝12×3＝36，

由（2）知，y＝S四邊形ABPQ＝t+18（0＜t≤6），

∵四邊形ABPQ的面積是四邊形ABCD的面積的四分之三

∴t+18＝×36，

∴t＝6；

如圖3，

當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)C重合，DQ＝6，

∵CD＝AB＝6，

∴DP＝DQ，

∴∠DQC＝∠DPQ，

∴∠D＝∠B＝30°，

∴∠DQP＝75°；

（4）①當(dāng)AB＝BP時(shí)，BP＝6，

即2t＝6，t＝3；

②當(dāng)AP＝BP時(shí)，如圖2，

∵∠B＝30°，

過(guò)P作PM垂直于AB，垂足為點(diǎn)M，

∴BM＝3，BP＝2，

∴2t＝2，

∴t＝

③當(dāng)AB＝AP時(shí)，同（2）的方法得，BP＝6，

∴2t＝6，

∴t＝3

所以，當(dāng)t＝3或或3時(shí)，△ABP為等腰三角形．