Question

【題目】如圖，在四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接CP，過(guò)點(diǎn)P作，且，過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)聯(lián)結(jié)，設(shè).

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）

（2）設(shè)，求出與的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域。

（3）在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)（用的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3），

，，

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，由“”可證，可得，，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由（1）可知,設(shè)OP=x，則可得M點(diǎn)坐標(biāo)為（4+x，x），由直線OB解析式可得N（x，x），即可知MN=4，由一組對(duì)邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）首先畫出符合要求的點(diǎn)的圖形，共分三種情況，第一種情況：當(dāng)為底邊時(shí)，第二種情況：當(dāng)M為頂點(diǎn)為腰時(shí)，第三種情況：當(dāng)N為頂點(diǎn)為腰時(shí)，然后根據(jù)圖形特征結(jié)合勾股定理求出各種情況點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答．

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，

，且

，且，

，

點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：

（2）由（1）可知

，

點(diǎn)坐標(biāo)為

四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，

點(diǎn)

直線的解析式為：

，交于點(diǎn)，

點(diǎn)坐標(biāo)為

，且

四邊形是平行四邊形

（3）在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，，，其中，

理由：當(dāng)（2）可知，，，軸，所以共分為以下幾種請(qǐng)：

第一種情況：當(dāng)為底邊時(shí)，作的垂直平分線，與軸的交點(diǎn)為，如圖2所示

，

，

第二種情況：如圖3所示，

當(dāng)M為頂點(diǎn)為腰時(shí)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧交軸于點(diǎn)、，連接、，

則，

，

，

，，

，

，

，；

第三種情況，當(dāng)以N為頂點(diǎn)、為腰時(shí)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓弧交軸正半軸于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，如圖4所示，

則，

，

即，．

當(dāng)時(shí)，

則，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去；

當(dāng)時(shí)，如圖5，以為圓心，為半徑畫弧，與軸的交點(diǎn)為，．

的坐標(biāo)為：，．

，

，

所以，綜上所述，，，，，，，使是等腰三角形．