Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點C的啦標(biāo)為（-1，0），點B在拋物線上，
【小題1】點Ａ的坐標(biāo)為__________,點Ｂ的坐標(biāo)為___________;拋物線的解析式為_________;
【小題2】在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊向直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由
【小題3】若點D是(1)中所求拋物線在第三象限內(nèi)的一個動點，連結(jié)BD、CD。當(dāng)△BCD的面積最大時，求點D的坐標(biāo)。

【小題4】若點P是(1)中所求拋物線上一個動點，以線段AB、BP為鄰邊作平形四邊形ABPQ。當(dāng)點Q落在x軸上時，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【小題1】Ａ（0，2）,B(-3,1).
【小題2】存在點Ｐ（點B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ為直角邊的直角三角形    4分
理由如下：
分情況討論：
①延長ＢＣ交拋物線于點Ｐ，連結(jié)ＡＰ₁
因為∠ACB=90°,∴∠ACP=90°
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
將Ｂ(-3,1),C(-1, 0)代入上式得
所以                         5分
聯(lián)立方程組解得（不符合題意舍去）
所以：Ｐ₁（1，-1）                                         6分
②過點Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點Ｐ₂，Ｐ₃
設(shè)直線ＡＰ₂的解析式為，將代入得
所以：
聯(lián)立方程組解得：
所以：Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）
綜上所述：存在點Ｐ₁（1，-1），Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）（點Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ
是以ＡＣ為直角邊的直角三角形                               7分
【小題3】設(shè)點Ｄ的坐標(biāo)為（m,）,過點Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點Ｍ
所以點Ｍ的坐標(biāo)為（m，），ＭＤ＝          8分
再設(shè)三角形ＢＣＤ的面積為Ｓ。
Ｓ＝＝       9分
因為Ｓ是m的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，函數(shù)有最大值
即當(dāng)m＝-1時Ｓ有最大值２
此時點Ｄ的坐標(biāo)為（-1，-2）
【小題4】（1，-1）。（-2，-1）解析:
（1）根據(jù)勾股定理求點Ａ的坐標(biāo),點Ｂ的坐標(biāo)，根據(jù)點Ｂ的坐標(biāo)求拋物線的解析式
（２）根據(jù)延長ＢＣ交拋物線于點Ｐ，連結(jié)ＡＰ₁，或者過點Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點
Ｐ₂，Ｐ₃構(gòu)成的三角形進行解答
（3）設(shè)點Ｄ的坐標(biāo)為（m,）,過點Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點Ｍ，求得ＭＤ＝，三角形ＢＣＤ的面積為,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)
(4)根據(jù)平形四邊形的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)