Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是_____，證明你的結論；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足_____條件時，四邊形EFGH是矩形（不證明）

（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？_____（不證明）

Answer 1

【答案】 平行四邊形 互相垂直 菱形

【解析】分析：(1)、連接BD，根據三角形中位線的性質得出EH∥FG，EH=FG，從而得出平行四邊形；(2)、首先根據三角形中位線的性質得出平行四邊形，根據對角線垂直得出一個角為直角，從而得出矩形；(3)、根據菱形的性質和三角形中位線的性質得出平行四邊形，然后根據對角線垂直得出矩形．

詳解：（1）證明：連結BD．

∵E、H分別是AB、AD中點， ∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．

理由如下：如圖，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點， ∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， 又∵四邊形EFGH是平行四邊形， ∴平行四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：如圖，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH=BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG， ∴平行四邊形EFGH是矩形．