Question

（2012•東城區(qū)二模）已知：等邊△ABC中，點(diǎn)O是邊AC，BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M，N分別在直線AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如圖1，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)CM≠CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出∠OCN=∠OAN′=30°，OC=OA，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
（2）結(jié)論還成立，證明過(guò)程與（1）類似；
（3）結(jié)論是MN=CN+AM，延長(zhǎng)CA到N′，使AN′=CN，連接OC，OA，ON′，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；

解答：解：（1）MN=AM-CN，
理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，
∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，
∴OC=OA，O也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn)，
∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=

1

2

×60°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠NCO=∠OAN′，
∵在△OCN和△OAN′中

OC=OA ∠NCO=∠OAN′ AN′=CN

，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠COM=60°，
∴∠AON′+∠COM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中

ON=ON′ ∠NOM=∠N′OM OM=OM

，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵M(jìn)N′=AM-AN′=AM-CN，
∴MN=AM-CN．

（2）MN=AM-CN，
證明：理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，
∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，
∴OC=OA，由三線合一定理得：∠OCB=OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=30°，
∵在△OCN和△OAN′中

OC=OA ∠NCO=∠OAN′ AN′=CN

，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON=ON′，∠CON=∠AON′
∴∠N′ON=∠COA=120°，
又∵∠MON=60°，
∴∠MON=∠MON′=60°
∵在△NOM和△N′OM中

ON=ON′ ∠NOM=∠N′OM OM=OM

，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵M(jìn)N′=AM-AN′=AM-CN，
∴MN=AM-CN．

（3）解：MN=CN+AM，
理由是：延長(zhǎng)CA到N′，使AN′=CN，連接OC，OA，ON′，
∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，
∴OC=OA，由三線合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′，
∵在△OCN和△OAN′中

OA=OC ∠OCN=∠OAN′ CN=AN′

，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠AOM=60°，
∴∠AON′+∠AOM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中

ON=ON′ ∠NOM=∠N′OM OM=OM

，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵M(jìn)N′=AM+AN′=AM+CN，
∴MN=AM+CN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的推理能力和猜想能力，題目具有一定的代表性，證明過(guò)程類似．