Question

【題目】在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=5，BD=4．則下列四個結(jié)論：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等邊三角形；④△AED的周長是9．其中正確的結(jié)論是（把你認為正確結(jié)論的序號都填上．）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正確；
∵△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等邊三角形，所以③正確；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以②錯誤；
∵△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以④正確．
故答案為①③④．

先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，則根據(jù)平行線的判定方法即可得到AE∥BC；由△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，則可判斷△BDE是等邊三角形；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，則可判斷∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等邊三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，則AE=CD，所以△AED的周長=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．