Question

如圖，邊長為2

3

的等邊三角形ABC內接于⊙0，點D在弧AC上運動，但與A、C兩點不重合，連結AD并延長交BC的延長線于P．
（1）求⊙0的半徑；
（2）設AD為x，AP為y，求出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過O作OE⊥AB于E，連接OA，根據等邊三角形的性質和垂徑定理可以E是AB的中點∠EAO=30°這樣解直角三角形就可以求出半徑了；
（2）連接CD，利用圓內接四邊形的性質可以得到∠ADC=∠ACP=120°，還有一個公共角，可以證明△ADC∽△ACP，然后利用相似三角形的性質就可以求出函數的關系式．

解答：解：解：（1）過O作OE⊥AB于E，連接OA．
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=

AB

2

∴

AE

OA

=cos30°，
∴OA=2

（2）連接CD，則∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴

AD

AC

AC

AP

∴AC²=AD•AP
∴y=

(2 3 )2

x

=

12

x

（0＜x＜2

3

）．

點評：此題綜合性比較強，把一元二次方程，等邊三角形，相似三角形，求函數關系式等知識，正確作出輔助線是關鍵．