Question

在上勞技課時，張老師拿出一張邊長為2

3

的等邊△ABC紙片，現要在這塊紙片上裁剪出四個圓，若記這塊△ABC紙片的中心為M，半徑為m，在△ABC內部畫一個⊙M后，再作三個半徑都為n的等圓⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃，使它們分別與△ABC的兩邊相切，與⊙M外切，建立直角坐標系如圖所示．
（1）寫出點M的坐標；
（2）求出m與n的函數關系式，并求自變量n的取值范圍約在哪兩個數之間（精確到0.1）；
（3）若記這四個圓的面積總和為S，試問S有最小值嗎？若有，求出這個最小值，并寫出相應的m值．

Answer 1

分析：（1）連接AM并延長交BC于N，根據等邊三角形的性質求出BN，根據勾股定理求出AN，求出ON即可；
（2）連接DO₃，求出AO₃=2DO₃=2n，根據AN的長度得到3=1+m+m+n+2n求出即可；
（3）根據圓的面積公式得到S=πm²+3πn²，代入求出即可．

解答：解：（1）連接AM并延長交BC于N，
∵M是等邊△ABC的中心，
∴AM=2NM，AN⊥BC，CN=BN，∠BAN=

1

2

∠BAC=30°，
由勾股定理得：AN=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴MN=1，
∴M（

3

，1），
答：點M的坐標是（

3

，1）．

（2）連接DO₃，
∵∠BAN=30°，∠O₃DA=90°，
∴AO₃=2DO₃=2n，
∴3=1+m+m+n+2n，
∴m=-3n+2，（0.3＜n＜0.6）；
答：m與n的函數關系式是m=-3n+2，并求自變量n的取值范圍約在0.3-0.6之間．

（3）S=πm²+3πn²=π（-3n+2）²+3πn²=π（12 n²-12n+4）=12π（n-0.5）²+π，
當n=0.5，即m=0.5時，S有最小值，最小值為S=π．
答：S有最小值，這個最小值是π，m值是0.5．

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質，二次函數的最值，相切兩圓的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，坐標與圖形性質等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．