Question

如圖，已知以點(diǎn)A（2，-1）為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上一動點(diǎn)，過E作直線y=-2的垂線，垂足為N．
①探索、猜想線段EN與ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②拋物線上是否存在點(diǎn)E使△EDN為等邊三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，  

4ac-b2

4a

)

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線解析式y(tǒng)=a（x-h）²+k，依據(jù)它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和所經(jīng)過的B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出拋物線的性質(zhì)，
（2）①根據(jù)已知，很容易就可以得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，E點(diǎn)為動點(diǎn)，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時(shí)，結(jié)合拋物線解析式，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)勾股定理，求出DE關(guān)于x、y的表達(dá)式，然后，根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)和N點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出EN關(guān)于x、y的表達(dá)式，即可看出它們相等，
②提出假設(shè)，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求證相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可得知相關(guān)線段的長度，即可求證E點(diǎn)的坐標(biāo)

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線的頂點(diǎn)A（2，-1）且過點(diǎn)B（4，0），∴y=a（x-2）²-1，
且0=4a-1，∴a=

1

4

（3分）
∴拋物線的解析式為y=

1

4

(x-2)2-1=

1

4

x2-x（4分）

（2）①猜想：DE=NE（5分）
證明：∵點(diǎn)D為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∴得D（2，0）
當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，
∵D（2，0），B（4，0），
∴ED=2，
∵過E作直線y=-2的垂線，垂足為N
∴EN=2，
∴DE=EN
當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，
∵A（2，-1），EN=2
∴DE=1，EN=1，
∴DE=EN（7分）
當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時(shí)，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x，

1

4

x2-x)，EN交x軸于點(diǎn)F，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x-2）²+y²（8分）
又∵NE=y+2，∴NE2=y2+4y+4=y2+4(

1

4

x2-x)+4=y²+x²-4x+4=（x-2）²+y²（9分）∴DE=NE
綜上所述，DE=NE（10分）

②答：存在（11分）
當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)△EDN為直角三角形，點(diǎn)E在x軸下方時(shí)△EDN為鈍角三角形，所以只當(dāng)E在x軸上方時(shí)△EDN才可能為等邊三角形（注意：未作上述說明不扣分！）
理由一：若△EDN為等邊三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴EF=FN=2，∴y=

1

4

x2-x=2（12分）
解得　x=2±2

3

（13分）
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2+2

3

，2)和(2-2

3

，2)（14分）
理由二：若△EDN為等邊三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴∠EFD=30°，EF=FN=2（12分）
在Rt△DEF中，tan∠EFD=

EF

DF

，
∴DF=

EF

tan∠EFD

=

2

tan30°

=2

3

（13分）
∵DA是拋物線的對稱軸，且D（2，0），
∴根據(jù)拋物線的對稱性得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2+2

3

，2)和(2-2

3

，2)（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定，根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法