Question

如圖，已知以點(diǎn)A（0，1）、C（1，0）為頂點(diǎn)的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐標(biāo)系內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形和△ABC全等，則P點(diǎn)坐標(biāo)為

（0，1）、（2，-1）、(2+

3

，

3

-1)、(

3

，

3

+1)（答案無(wú)需化最簡(jiǎn)）

．

Answer 1

分析：求出AC，AB的值，根據(jù)題意得出符合的四種情況，畫出圖形，結(jié)合圖形和全等三角形的性質(zhì)求出每種情況即可．

解答：解：由勾股定理得：AC=

2

，
∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴AB=2

2

，BC=

6

，
分為四種情況：①當(dāng)P和A重合時(shí)，△PCB≌△ACB，此時(shí)P的坐標(biāo)是（0，1）；
②如圖1，

延長(zhǎng)AC到P，使AC=CP，連接BP，過(guò)P作PM⊥x軸于M，此時(shí)PM=OA=1，CM=OC=1，OM=1+1=2，
即P的坐標(biāo)是（2，-1）；
③如圖2，

過(guò)B作BP⊥BC，且BP=AC=

2

，此時(shí)PC=AB=2

2

過(guò)P作PM⊥x軸于M，此時(shí)∠PCM=15°，在x軸上取一點(diǎn)N，使∠PNM=30°，
即CN=PN，
設(shè)PM=x，則CN=PN=2x，MN=

3

x，
在Rt△CPM中，由勾股定理得：（2

2

）²=（2x+

3

x）²+x²，
x=

3

-1，
即PM=

3

-1，MC=2x+

3

x=

3

+1，
OM=1+

3

+1=2+

3

，
即P的坐標(biāo)是（2+

3

，

3

-1）；
④如圖3，

過(guò)B作BP⊥BC，且BP=AC=

2

，過(guò)P作PM⊥x軸于M，
此時(shí)∠PCM=30°+45°=75°，∠CPM=15°，和③解法類似求出CM=

3

-1，
PM=2x+

3

x=

3

+1，OM=1+

3

-1=

3

，
即P的坐標(biāo)是（

3

，

3

+1），
故答案為：（0，1）或（2，-1）或（2+

3

，

3

-1）或（

3

，

3

+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論，題目比較好，但是有一定的難度．