Question

如圖，在△OBC中，∠OBC=90°，以O(shè)為圓心，OB為半徑與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED∥OC交于D點(diǎn)，直線CD、BE交于點(diǎn)A．
（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若半徑為3，DC=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，易證得△BOC≌△DOC，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可證得∠ODC=∠OBC=90°，即可得直線AC是⊙O的切線；
（2）由△BOC≌△DOC，易證得∠OBD=∠OCD，可得tan∠OBD=tan∠OCD，易證得△ADE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)AE=x，可得AD=2x，AO=3+x，然后由勾股定理即可求得AE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）直線AC與⊙O相切．理由如下：
連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠DOC=∠ODE，∠BOC=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，

OB=OD ∠BOC=∠DOC OC=OC

，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴直線AC是⊙O的切線；

（2）∵△BOC≌△DOC，
∴∠BCO=∠DCO，BD⊥OC，
∵∠OBD+∠BOC=∠BOC+∠OCB=90°，
∴∠OBD=∠OCD，
∴tan∠OBD=tan∠OCD，
即

DE

DB

=

OD

CD

=

3

6

=

1

2

，
∵∠ADE+∠ODE=∠ABD+∠OED=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴

AE

AD

=

DE

DB

=

1

2

，
設(shè)AE=x，則AD=2x，AO=3+x，
在Rt△ODA中，OD²+AD²=AO²，
即3²+（2x）²=（x+3）²，
解得：x=2，
即AE=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．