Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點．連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求證：△APE∽△ADQ；
（2）設(shè)AP的長為x，試求△PEF的面積S_△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當P在何處時，S_△PEF取得最大值，最大值為多少？
（3）當Q在何處時，△ADQ的周長最��？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

Answer 1

（1）證明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）同（1）可證△APE∽△ADQ與△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=

1

2

S_{平行四邊形PEQF}，
根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=(

x

3

)2，

S△DPF

S△ADQ

=(

3-x

3

)2，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四邊形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=

1

2

×[3-(

x

3

)2×3-(

3-x

3

)2×3]
=

1

2

（-

2

3

x²+2x）
=-

1

3

x²+x
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

3

4

．
∴當x=

3

2

，即P是AD的中點時，S_△PEF取得最大值

3

4

．

（3）作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點．