Question

【題目】如圖，點P是⊙O 外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)若PD=cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；

(3)在(2)的條件下，若點E是 的中點，連接CE，求CE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析； （2） ；（3） CE的長為cm

【解析】分析：（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；（2）證明△ADP∽△ODA，得到成比例線段求出BC的長，根據(jù)S陰=SO-S△ABC求出答案；（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．

詳解：證明： ⑴如圖，連接OC，∵PA切⊙O于A．

∴∠PAO=90．

∵OP∥BC，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB．∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP．

又∵OA=OC，OP=OP， ∴△PAO≌△PCO (SAS)．∴∠PAO=∠PCO=90 ，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線．

⑵解法不唯一. 解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90 ，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD =∠AOD，

∴△ADO∽△PDA．

∴，∴，∵AC=8， PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由題意知OD為△ABC的中位線，∴BC=2OD=6，AB=10．

∴S陰=S半⊙O－S△ACB=．

答：陰影部分的面積為．

（3）如圖，連接AE，BE，過點B作BM⊥CE于點M．

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90，又∵點E是的中點，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45，CM=MB =，BE=ABcos450 =，

∴ EM=，/span>∴CE=CM+EM= ．

答：CE的長為cm．