Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長(zhǎng)（0A＜OB）是方程組

2x=y 3x-y=6

的解，點(diǎn)C是直線y=2x與直線AB的交點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=2

5

．
（1）求直線AB的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析為y=kx+b，解方程組方程組

2x=y 3x-y=6

，得到的解即為OA，OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而知道A和B的坐標(biāo)，再把其橫縱坐標(biāo)分別代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直線y=2x聯(lián)立解方程組，方程組的解即為點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)D在直線OC上因此可設(shè)D（a，2a），又因?yàn)镺D=2

5

，由勾股定理可求出a的值，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，把A、D的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求解；
（3）由（2）中D的坐標(biāo)可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因?yàn)橐設(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，所以需分情況討論：若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，過P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螼AD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=3

2

，OM=6-3

2

，即P（6-3

2

，3

2

），所以Q的橫坐標(biāo)為6-3

2

-6=-3

2

，Q₁（-3

2

，3

2

）；若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螹AP=∠OAD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=3

2

，OM=6+3

2

，即P（6+3

2

，-3

2

），所以Q的橫坐標(biāo)為6+3

2

-6=3

2

，Q₂（3

2

，-3

2

）；若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OAQP是正方形．又因正方形邊長(zhǎng)為6，所以此時(shí)Q（6，6）；若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OPAQ是正方形．又因正方形對(duì)角線為6，由正方形的對(duì)稱性可得Q（3，-3）．

解答：解：（1）解方程組方程組

2x=y 3x-y=6

，
解得：

x=6 y=12

∵線段OA、OB的長(zhǎng)（0A＜OB）是方程組

2x=y 3x-y=6

的解，
∴OA=6，OB=12，
∴A（6，O），B（0，12），
設(shè)直線AB的解析為y=kx+b，
∴

0=6k+b 12=b

∴直線AB：y=-2x+12，
聯(lián)立

y=-2x+12 y=2x

，
解得：

x=3 y=6

，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6）；

（2）設(shè)點(diǎn)D：（a，2a），
由OD=2

5

：a²+（2a）²=（2

5

）²，
得：a=±2，
∵由圖得，a＞0，
∴a=2．
∴D（2，4），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b
把A（6，0），D（2，4）代入得

6k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-1 b=6

，
∴直線AD的解析式為y=-x+6；

（3）存在．
Q₁（-3

2

，3

2

）
Q₂（3

2

，-3

2

）
Q₃（3，-3）
Q₄（6，6）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、分情況求點(diǎn)的坐標(biāo)，而解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．