Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM直線a于點(diǎn)M，CN直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；

(1) 延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。求證：△BPM≌△CPE；求證：PM=PN；

(2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)

PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN

的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立；（3）成立

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；

②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．

（2）證明方法與②相同．

（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．

（1）①如圖2：

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC邊中點(diǎn)，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE

∴PM=ME，

∴在Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（2）成立，如圖3，延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，

∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，

∴∠BMN=∠CNM=90°

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC中點(diǎn)，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM=ME，

則Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（3）如圖4：

四邊形M′BCN′是矩形，

根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到△M′BP≌△N′CP，

得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．