Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且PA=PB．
（1）求直線l的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)⊙Q是Rt△AOB的內(nèi)切圓，分別與OA、OB、AB相切于點(diǎn)D、E、F，求證：AD、BE的長(zhǎng)是方程x²-2

5

x+4=0的兩個(gè)根．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（4，0）與P（2，1），利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑求法，得出AD，BE的長(zhǎng)度，再利用根與系數(shù)關(guān)系得出即可．

解答：解：（1）如圖，建立坐標(biāo)系，依據(jù)題意構(gòu)造Rt△ABC，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，
∵PA=PB，
∴OH=HA，
∴A（4，0），
設(shè)直線l的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A（4，0）與P（2，1）在直線l上，
∴

4k+b=0 2k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=2

；
∴直線l的函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x+2；

（2）由（1）知，在Rt△AOB中，AO=4，BO=2，AB=2

5

，
∵⊙Q是Rt△AOB的內(nèi)切圓，
∴AD=AF，BE=BF，OD=OE，
∴AD+BE=AF+BF=AB=2

5

，
∴在直角三角形中，內(nèi)切圓半徑r與三邊長(zhǎng)的關(guān)系有：
OD=

AO+BO-AB

2

，
=

4+2-2 5

2

，
=3-

5

，
則AD=AO-OD=4-（3-

5

）=1+

5

，
BE=BO-OE=2-（3-

5

）=

5

-1，
∴AD•BE=（

5

+1）（

5

-1）=4，
由根與系數(shù)的關(guān)系得出AD、BE的長(zhǎng)是方程x²-2

5

x+4=0的兩個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及直角三角形內(nèi)切圓半徑求法和根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知得出AD，BE的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．