Question

如圖，線段AB的兩個端點都在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，AC、BD分別垂直O(jiān)X于點C、D．且CD=2，設(shè)線段CD的中點M的坐標(biāo)為M（a，0）．
（1）用a表示C、D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)梯形ACDB的面積為時，求a的值；
（3）如果線段CD上存在點P，使得∠APB=90°，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵CD=2，M是CD的中點，∴CM=MD=1，∴OC=a-1，OD=a+1，C（a-1，0），D（a+1，0）；

（2）當(dāng)x=a-1時，y=，∴A（a-1，），
當(dāng)x=a+1時，y=，∴B（a+1，），
S_梯形ACDB=（+）×2=，
解得a₁=2，a₂=-（不合題意，舍去），
∴a=2；

（3）AB==，中位線=（），
當(dāng)AB=中位線時，有（）²+4=（）²，解得a=±2，根據(jù)題意a=2，
當(dāng)AB＞中位線時，a＞2，
∴a的取值范圍是a≥2．
分析：（1）結(jié)合圖形易知C（a-1，0），D（a+1，0）；
（2）用a表示A、B縱坐標(biāo)，即是梯形兩個底，根據(jù)面積公式得方程求解；
（3）當(dāng)以AB為直徑的圓與X軸有交點時就是存在P滿足條件，所以當(dāng)AB≥梯形中位線長時滿足條件．用含a的代數(shù)式分別表示上述線段，解不等式求解．
點評：此題將函數(shù)與圓的知識綜合起來，難度較大．需同時考慮到直徑所對的圓周角是直角及直線與圓的位置關(guān)系等知識．