Question

如圖，等腰梯形MNPQ的上底長(zhǎng)為2，腰長(zhǎng)為3，一個(gè)底角為60°．正△ABC的邊長(zhǎng)為1，它的一邊AC在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)．
（1）請(qǐng)?jiān)谒�給的圖中，畫出頂點(diǎn)A在正△ABC整個(gè)翻滾過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線圖；
（2）求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；
（3）求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)：×4+=π；

（3）如圖所示：

根據(jù)正三角形邊長(zhǎng)為1，則高AD為：cos30°=，則AD=，
故面積為：×1×，
圍成的圖形的面積：3個(gè)圓心角為120°的扇形+2個(gè)正三角形的面積+一個(gè)半圓面積，
（根據(jù)要求正△ABC在整個(gè)翻滾過(guò)程中頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S，則最后一段弧沒(méi)有和PQ圍成閉合的圖形，故可以不求這部分面積）
所以點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：
×π×1²+2×1×+3×=π+．
分析：（1）根據(jù)將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終是以半徑為1的弧，據(jù)此畫出圓弧即可．
（2）根據(jù)翻滾路線結(jié)合弧長(zhǎng)公式求出即可；
（3）根據(jù)總結(jié)的翻轉(zhuǎn)角度和翻轉(zhuǎn)半徑，求出圓弧與梯形的邊長(zhǎng)圍成的扇形的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積的計(jì)算、等腰梯形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算，是一道不錯(cuò)的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確地得到點(diǎn)A的翻轉(zhuǎn)角度和半徑．