Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(－2，2)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在OA上，且AH＝，過點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G，現(xiàn)將長(zhǎng)方形折疊，使頂點(diǎn)C落在HG上的D點(diǎn)處，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求折痕EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)若點(diǎn)P在直線AB上，當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí)，試問滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出解答過程.

Answer 1

【答案】（1）D（-，）；（2）EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x+；（3）存在．（-2,0）或 （-2，）或（-2，）.

【解析】

（1）由條件可以求出EC=EB=1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以求出ED=1，利用三角函數(shù)值求出∠GED的度數(shù)，從而可以求出∠CEF的度數(shù)，利用勾股定理求得DG的值，則可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求出CF的值，從而求出F的坐標(biāo)，設(shè)出直線EF的解析式，直接利用待定系數(shù)法求出其解析式就可以了；
（3）設(shè)點(diǎn)P在線段AB上，分類討論PD=PF,DF=FPA,DF=PD三種情況分類討論，即可.

解：(1)∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB==1．
∵△FCE與△FDE關(guān)于直線EF對(duì)稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=，
∴EG=EB-AH=1-=．

在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG2=ED2-EG2=1-=
∴DG=

DH=AB-DG=-=
OH=OA-AH=2-=
故D（-，）

(2)∵cos∠GED==，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF==60°．
∴CF=ECtan60°=

∴OF=OC-CF=2-=
∴F（0，），E（-1，2）
設(shè)EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由圖象，得

，
解得：
故EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x+；
(3)存在．

情況一：

點(diǎn)P1在直線AB上，連接P1D、P1F，作P1M⊥y軸交y軸于點(diǎn)M，交GH于點(diǎn)N，

當(dāng)△P1FD為等腰三角形時(shí)，若P1D= P1F.

設(shè)FM=a,則OM=OF-a=-a

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(－2，2)，

∴P1M=2，MN=,DH=,P1M=2

∴P1N= P1M-MN=2-=

DN=DH-NH= DH-(OF-FM)= -(-a)= +a
∵△P1MF、△P1ND是直角三角形

∴在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

在△P1ND中，由勾股定理得，

化簡(jiǎn)得：

∵P1D= P1F.

∴=

解得

∴OM=OF-a=-a=0

∴P1（-2,0）與A點(diǎn)重合.

情況2：

點(diǎn)P1在直線AB上，連接P2D、P2F，作P2M⊥y軸交y軸于點(diǎn)M，交GH于點(diǎn)N，

作DN⊥y軸交y軸于點(diǎn)N.

設(shè)當(dāng)△P2FD為等腰三角形時(shí)，若DF= P2F.

設(shè)FM=a,則OM=OF-a=-a

在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

由情況1得，(已證)

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(－2，2)， ，OF=

∴NF=ON-OF=-=，DN=

∴在Rt△DFN中，由勾股定理得，

∵DF= P2F.

∴3=

(不符合題意，故舍去)

情況三：

點(diǎn)P3在直線AB上，連接P3D、P3F，作P3M⊥y軸交y軸于點(diǎn)M，交GH于點(diǎn)N，

作DN⊥y軸交y軸于點(diǎn)N.

設(shè)當(dāng)△P3FD為等腰三角形時(shí)，若DF= P3D.

由情況2可知：(已證)

設(shè)P3（-2，b）

∴在Rt△P3ND中，由勾股定理得，

則

∵DF= P3D.

∴DF2= P3D2

則3=

解得或

所以P3坐標(biāo)為（-2，）或（-2，）

所以，綜上所述存在，坐標(biāo)是（-2,0）或 （-2，）或（-2，）