Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）．
（1）求證：不論m取什么實數，該二次函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）若該二次函數圖象經過點（2m﹣2，﹣2m﹣1），求該二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4（ m2﹣1）

=（4m2+4m+1）﹣2m2+4

=2m2+4m+5

=2（m+1）2+3＞0，

∴不論m取什么實數，方程x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）=0都有兩個不相等的實數根，

∴不論m取什么實數，該二次函數圖象與x軸總有兩個交點

（2）解：∵該二次函數圖象經過點（2m﹣2，﹣2m﹣1），

∴（2m﹣2）2﹣（2m+1）（2m﹣2）+（ m2﹣1）=﹣2m﹣1，

解得：m1=2，m2=6，

當m=2時，該二次函數的表達式為：y=x2﹣5x+1，

當m=6時，該二次函數的表達式為：y=x2﹣13x+17

【解析】（1）首先求出b2﹣4ac的表達式，進而利用配方法求出其符號，進而得出答案；（2）將已知點代入進而求出m的值得出答案．
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．