Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D

（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；
（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，則 PB+PD的最小值為；
（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點
①若平面內存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有 個；
②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意 解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ，

∵y= x2﹣ x﹣ = （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點坐標（ ，﹣ ）

（2）
（3）

① 5

②解：如圖，RT△AOB中，∵tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，

以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．

則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，

∵EB= = ，

∴OE=OB﹣EB= ，

∵F（ ，t），EF2=EB2，

∴（ ）2+（t+ ）2=（ ）2，

解得t= 或 ，

故F（ ， ），G（ ， ），

∴t的取值范圍 ≤t≤

【解析】【解析】解：（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此時 PB+PD最�。�
理由：∵OA=1，OB= ，
∴tan∠ABO= = ，
∴∠ABO=30°，
∴PH= PB，
∴ PB+OD=PH+PD=DH，
∴此時 PB+PD最短（垂線段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，
∴sin60°= ，
∴DH= ，
∴ PB+PD的最小值為 ．
所以答案是 ．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，
以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，
線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，
所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，
所以答案是5．
（1）利用待定系數(shù)法轉化為解方程組解決問題．（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時 PB+PD最�。�最小值就是線段DH，求出DH即可．（3）①先在對稱軸上尋找滿足△ABM是等腰三角形的點M，由此即可解決問題．②作AB的中垂線與y軸交于點E，連接EA，則∠AEB=120°，以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G．則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點滿足題意，求出F、G的坐標即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會利用垂線段最短解決實際問題中的最短問題，學會添加輔助線，構造圓解決角度問題，屬于中考壓軸題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用垂線段最短和銳角三角函數(shù)的增減性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用；當角度在0°~90°之間變化時：（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減�。�（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減�。ɑ蛟龃螅�（3）正切值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�．