Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在射線BC上（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），將線段AD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，作射線BA與射線CE，兩射線交于點(diǎn)F．

（1）若點(diǎn)D在線段BC上，如圖1，請(qǐng)直接寫出CD與EF的關(guān)系．

（2）若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

（3）在（2）的條件下，連接DE，G為DE的中點(diǎn)，連接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）CD＝EF，CD⊥EF；（2）結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，可證CD⊥EF，由等腰三角形的性質(zhì)可得BC=CF，可證CD=EF；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，可證CD⊥EF，由等腰三角形的性質(zhì)可得BC=CF，可證CD=EF；

（3）過點(diǎn)A作AN⊥CE于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GH⊥CE于H，由直角三角形的性質(zhì)可求BC=CF=2，AN=CN=1，銳角三角函數(shù)可求EN=2，由平行線分線段成比例可求GH，FH的長(zhǎng)，由勾股定理可求解．

（1）CD＝EF，CD⊥EF，

理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵將線段AD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴AD=AE，∠DAE=90°=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACE=90°，

∴CD⊥EF，

又∵∠ABC=45°，

∴∠BFC=∠ABC，

∴BC=CF，

∴CD=EF；

（2）結(jié)論仍然成立，

理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC=∠ACB＝45°，

∵將線段AD繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴CD⊥EF，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠BFC＝∠ABC，

∴BC＝CF，

∴CD＝EF；

（3）如圖，過點(diǎn)A作AN⊥CE于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GH⊥CE于H，

∵，

∴BC＝CF＝2，

∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，

∴AN＝CN＝1，

∵，

∴EN＝2，

∴EC＝CN+EN＝3，

∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，

∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，

∴HG∥CD，

∴ ，且EG＝DG，

∴，，

∴

∴.