Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，若α=90°，求AA′的長(zhǎng)；
（2）如圖②，若α=120°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（3）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上 的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，

∴BA=BA′，∠ABA′=90°，

∴△ABA′為等腰直角三角形，

∴AA′= BA=5

（2）

解：作O′H⊥y軸于H，如圖②，

∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，

∴∠HBO′=60°，

在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，

∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，

∴OH=OB+BH=3+ = ，

∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，

∴BP=BP′，

∴O′P+BP′=O′P+BP，

作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn)，如圖②，

則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時(shí)O′P+BP的值最小，

∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴C（0，﹣3），

設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b，

把O′（ ， ），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線O′C的解析式為y= x﹣3，

當(dāng)y=0時(shí)， x﹣3=0，解得x= ，則P（ ，0），

∴OP= ，

∴O′P′=OP= ，

作P′D⊥O′H于D，

∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，

∴∠DP′O′=30°，

∴O′D= O′P′= ，P′D= O′D= ，

∴DH=O′H﹣O′D= ﹣ = ，

∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．（1）如圖①，先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA′，∠ABA′=90°，則可判定△ABA′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA′的長(zhǎng)；（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，則∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BH和O′H的長(zhǎng)，然后利用坐標(biāo)的表示方法寫(xiě)出O′點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′，則O′P+BP′=O′P+BP，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn)，如圖②，易得O′P+BP=O′C，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)O′P+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y= x﹣3，從而得到P（ ，0），則O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出P′D和DO′的長(zhǎng)，從而可得到P′點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線段的基本性質(zhì)和含30度角的直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短．也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線段最短；連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離；線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半才能正確解答此題．