Question

已知，如圖，直線l₁：與y軸交于點(diǎn)A，與直線l₂交于x軸上同一點(diǎn)B，直線l₂交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若點(diǎn)P是直線l₁上任意一點(diǎn)，求證：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′一定在直線l₂上；
（3）設(shè)D（0，-1），平行于y軸的直線x=t分別交直線l₁和l₂于點(diǎn)E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）解：∵直線l₁：與x、y軸交于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，
∴A（0，3），B（2，0），
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，∴C（0，-3）；
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，
∴，
解得k=，b=-3，
∴直線l₂的解析式為y=x-3；

（2）證明：設(shè)P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（x，-y），
把點(diǎn)P′（x，-y）代入直線l₂的解析式，左邊=-y，右邊=x-3；
又∵，
∴-y=x-3，
∴左邊=右邊，
∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′一定在直線l₂上．

（3）解：假設(shè)存在t的值，使四邊形ADEF為平行四邊形，
則E（t，t-3）、F（t，-t+3），
∴（t-3）-（-t+3）=3-（-1），
解得t=，
∵B（2，0），
∴BN=-2==BK，
OK=2-=，
即此時(shí)EF=-×+3-（×+3）=4=AD，
∴存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則t的值為或．
分析：（1）先求出直線l₁：與x、y軸交于點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（x，-y），證明點(diǎn)P′（x，-y）的坐標(biāo)滿足直線l₂的解析式即可；
（3）假設(shè)存在t的值，由四邊形ADEF為平行四邊形，根據(jù)對(duì)邊相等，有兩點(diǎn)之間的距離求出t值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和幾何問題的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)與點(diǎn)的距離是解題的基礎(chǔ)．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計(jì)算．