Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數(shù)．
（1）小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC= ．
問題遷移：如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．

（2）當點P在A、B兩點之間運動時，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由．
（3）如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】
（1）110°
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）解：當P在BA延長線時，∠CPD=∠β﹣∠α；

理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

當P在BO之間時，∠CPD=∠α﹣∠β．

理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

【解析】解：過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=180°﹣∠A=50°，∠CPE=180°﹣∠C=60°，

∴∠APC=50°+60°=110°，

所以答案是：110°；
∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

（1）如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（2）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β﹣∠α；

理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

當P在BO之間時，∠CPD=∠α﹣∠β．

理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

首先過P作PE∥AB，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠APC=50°+60°=110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，依據(jù)平行公理的推理可得到AD∥PE∥BC，接下來，再依據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）首先畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質(zhì)的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．