Question

如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論正確的是
①點P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．

1. A.
   全部正確
2. B.
   僅①和②正確
3. C.
   僅②③正確
4. D.
   僅①和③正確

Answer 1

A
分析：因為△ABC為等邊三角形，根據(jù)已知條件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，則AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP，所以AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)知，AP也是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點，因為AQ=PQ，所以點Q是AC的中點，所以PQ是邊AB對的中位線，有PQ∥AB，故（3）正確，又可推出△BRP≌△QSP，故（4）正確．
解答：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴∠ARP=∠ASP=90°
∵PR=PS，AP=AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP
∴AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP
∴AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確
∴AP是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點
∵AQ=PQ
∴點Q是AC的中點
∴PQ是邊AB對的中位線
∴PQ∥AB，故（3）正確
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP
∴△BRP≌△QSP，故（4）正確
∴全部正確．
故選A．
點評：本題利用了等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)求解．