Question

【題目】如圖，已知 B 1, 0 ， C 1, 0 ， A 為 y 軸正半軸上一點(diǎn)， AB AC ，點(diǎn) D 為第二象限一動點(diǎn)，E 在 BD 的延長線上， CD 交 AB 于 F ，且BDC BAC .

（1）求證： ABD ACD ；

（2）求證： AD 平分CDE ；

（3）若在 D 點(diǎn)運(yùn)動的過程中，始終有 DC DA DB ，在此過程中，BAC 的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出BAC 的度數(shù)？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠BAC的度數(shù)不變化．∠BAC=60°．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理等量代換可得結(jié)論；（2）作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N，證明△ACM≌△ABN即可；（3）用截長補(bǔ)短法在CD上截取CP=BD，連接AP，證明△ABD≌△ACP，由全等性質(zhì)可知△ADP是等邊三角形，易知BAC 的度數(shù).

（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．

則∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；
（3）∠BAC的度數(shù)不變化．
在CD上截取CP=BD，連接AP．

∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等邊三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．