Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），拋物線頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，CD，BD，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）試探究是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P，M，B為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，PM交線段BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)F，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)QF有最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）；（2）見(jiàn)解析;（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3）, 將C（0，-3），代入可求出解析式，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D點(diǎn)即可.

（2）由（1）可得BC＝3 ，CD＝，BD＝，△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，再分情況討論：①當(dāng)△PMB∽△BCD時(shí)，得點(diǎn)P（2，﹣3）；②當(dāng)△BMP∽△BCD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

（3）設(shè)QF為y，作FH⊥PM于點(diǎn)H，先證明△FHP∽△AOC，得出PQ＝＝2y，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），點(diǎn)Q（m，m﹣3），求出PQ＝﹣m2+3m，即可解答.

解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將C（0，-3），代入可得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，

根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出D的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）；

（2）由（1）知，點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4），

則BC＝3 ，CD＝，BD＝，

則△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，

①當(dāng)△PMB∽△BCD時(shí)，

則∠MPB＝∠DBC，即：tan∠MPB＝tan∠DBC＝ ，

∵點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），

tan∠MPB＝，

解得：m＝2或3（舍去3），

故點(diǎn)P（2，﹣3）；

②當(dāng)△BMP∽△BCD時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P（﹣，﹣）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，﹣3）或（﹣，﹣）；

（3）設(shè)QF為y，作FH⊥PM于點(diǎn)H，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°

則FH＝QH＝y，

∵PE∥AC，PM∥OC，則∠PEM＝∠HFP＝∠CAO，

∴△FHP∽△AOC，

則PH＝3FH＝y，

∴PQ＝＝2y，

根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

則點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），點(diǎn)Q（m，m﹣3），

所以PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，即：2y＝﹣m2+3m，

則y＝，．

∴當(dāng)m＝時(shí)，QF有最大值．