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        1. 【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點G,H分別是BC、CD邊上的點,直線GH與AB、AD的延長線相交于點E,F(xiàn),連接AG、AH.
          (1)當BG=2,DH=3時,則GH:HF= , ∠AGH=°;
          (2)若BG=3,DH=1,求DF、EG的長;
          (3)設BG=x,DH=y,若△ABG∽△FDH,求y與x之間的函數(shù)關系式,并求出y的取值范圍.

          【答案】
          (1)1:3;90
          (2)解:∵正方形ABCD的邊長為4,BG=3,DH=1,

          ∴CG=1,CH=3,

          ∵CG∥DF,CH∥BE,

          ∴△CGH∽△BGE∽△DFH,

          = = ,即 = = ,

          解得BE=9,DF= ,

          ∴Rt△BEG中,EG= = =3


          (3)解:∵正方形ABCD的邊長為4,BG=x,DH=y,

          ∴CG=4﹣x,CH=4﹣y,

          由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,

          ∴△ABG∽△GCH,

          = ,即 = ,

          ∴y與x之間的函數(shù)關系式為:y= x2﹣x+4,

          = ,

          ∴4﹣y= =﹣ +x,

          ∴當x=﹣ =2時,4﹣y有最大值,且最大值為﹣ ×4+2=1,

          ∴0<4﹣y≤1,

          解得3≤y<4.


          【解析】解:(1)解:∵正方形ABCD的邊長為4,BG=2,DH=3, ∴CG=2,CH=1,
          ∵DF∥CG,
          ∴△FDH∽△GCH,
          = = ,
          ∵Rt△GCH中,GH2=CG2+CH2=5,
          Rt△ABG中,AG2=AB2+BG2=20,
          Rt△ADH中,AH2=AD2+DH2=25,
          ∴GH2+AG2=AH2 ,
          ∴△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°.
          所以答案是:1:3,90

          (1)根據(jù)正方形ABCD的邊長為4,BG=2,DH=3,可得CG=2,CH=1,再根據(jù)DF∥CG,得出△FDH∽△GCH,根據(jù)相似三角形的性質可得GH:HF的值,最后根據(jù)勾股定理的逆定理,判定△AGH是直角三角形,且∠AGH=90°即可;(2)根據(jù)正方形ABCD的邊長為4,BG=3,DH=1,得出CG=1,CH=3,再根據(jù)CG∥DF,CH∥BE,可得△CGH∽△BGE∽△DFH,最后根據(jù)相似三角形的性質以及勾股定理,求得DF、EG的長;(3)根據(jù)正方形ABCD的邊長為4,BG=x,DH=y,得出CG=4﹣x,CH=4﹣y,由(1)可得,△FDH∽△GCH,而△ABG∽△FDH,進而得出△ABG∽△GCH,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,可得y與x之間的函數(shù)關系式為:y= x2﹣x+4,最后運用二次函數(shù)的性質求得3≤y<4即可.
          【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關知識,掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a,以及對勾股定理的逆定理的理解,了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系:a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

          練習冊系列答案
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          (2)問題解決:求S正方形MNPQ
          (3)拓展應用:如圖(3),在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF=1,再分別過點D,E,F(xiàn)作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△PQR,求SPQR . (請仿照上述探究的方法,在圖3的基礎上,先畫出圖形,再解決問題).

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