Question

閱讀并完成填空．
九年級數(shù)學(xué)興趣小組展示了他們小組探究的過程和發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：

（1）如圖1，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN=CM，當(dāng)M、N改變位置且保持BM=AN時，∠NOC保持不變，請猜測∠NOC的度數(shù)：∠NOC=

60

度．
（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN=DM，且∠DON=

90

度．
（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN=EM，且∠EON=

108

度．
（4）在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結(jié)論．請大膽猜測，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：

以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角

(n-2)•180°

n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠CBM，AB=BC，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠OBC+∠BCM=∠NOC=60°；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠DON=∠AMD+∠BAN=90°；
（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠EON=∠AEM+∠EOA=108°；
（4）根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結(jié)論．

解答：解：（1）∵正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，
∴∠A=∠CBM，AB=BC，
∵在△ABN和△BCM中

AB=BC ∠A=∠CBM AN=BM

，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN=∠MCB，
∴∠OBC+∠BCM=∠NOC=60°，
故答案為：60；

（2）∵在正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，
∴AD=AB，
∵在△ABN和△DAM中，

AD=AB ∠DAM=∠ABN AM=BN

，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD=∠ANB，∠ADM=∠BAN，
∴∠DON=∠AMD+∠BAN=90°，
故答案為：90；

（3）∵在正五邊形中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ANB，
∵在△AEM和△BAN中

AB=AE ∠B=∠EAM BN=AM

，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴∠AEM=∠BAN，
∴∠EON=∠AEM+∠EOA=108°，
故答案為：108；

（4）∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：60°，正方形的內(nèi)角度數(shù)為：90°，正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角

(n-2)•180°

n

．
故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角

(n-2)•180°

n

．

點評：此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用三角形的外角性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．