Question

如圖，△ABC中，O在AC的延長線上，⊙O過C、B兩點，交直線AC于D，若CA=CB=CO．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧

BD

上一點，弦CE與BD相交于點F，tan∠BCF=

3

4

，若DF=4

3

-3，求線段FE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，得到△OAB是等邊三角形，∠OBA=∠OAB=60°，再由AD=AB得到∠ABD=30°，所以∠DBO=90°，證明BD是⊙O的切線．
（2）在直角△ABF中，求出cos∠BFA的值，然后由△ACF∽△BEF，得到

BE

AC

=

BF

AF

，求出直徑AC，再確定圓的半徑的長．

解答：（1）證明：如圖：
連接OB、BE，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=

1

2

∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
∴DB是⊙O的切線；

（2）解：在直角△ABF中，由tan∠BFA=

5

2

，設AB=

5

a，則BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2a

3a

=

2

3

．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△FDE∽△FCB，
∴

EF

DF

=

BF

CF

，
∴

12

25-x

=

x

12

，
∴EF=

3

5

（4

3

-3）

點評：本題考查了切線的判定和相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)正確的列出比例式．