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        1. (2007•白銀)如圖,已知等邊△ABC和點P,設點P到△ABC三邊AB、AC、BC(或其延長線)的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.
          在圖(1)中,點P是邊BC的中點,此時h3=0,可得結論:h1+h2+h3=h.
          在圖(2),(3),(4),(5)中,點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外.
          (1)請?zhí)骄浚簣D(2),(3),(4),(5)中,h1、h2、h3、h之間的關系;(直接寫出結論)圖②-⑤中的關系依次是:
          h1+h2+h3=h;h1-h2+h3=h;h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h;
          (2)證明圖(2)所得結論;
          (3)證明圖(4)所得結論;
          (4)(附加題2分)在圖(6)中,若四邊形RBCS是等腰梯形,∠B=∠C=60°,RS=n,BC=m,點P在梯形內,且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4,橋形的高為h,則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為:h1+h3+h4=.圖(4)與圖(6)中的等式有何關系.

          【答案】分析:(1)圖②-⑤中的關系依次是:h1+h2+h3=h;h1-h2+h3=h;h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h;
          (2)由圖(2)有S△ABP+S△ACP=S△ABC根據(jù)等邊三角形的性質,及面積公式得出結論;
          (3)由圖(4)有S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC,根據(jù)等邊三角形的性質,及面積公式得出結論;
          (4)延長BR、CS交于A,由(3)有h1+h3+h4=
          解答:解:(1)圖②-⑤中的關系依次是:
          h1+h2+h3=h;h1-h2+h3=h;h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h;(4分)

          (2)圖②中,h1+h2+h3=h.
          證法一:
          ∵h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,(6分)
          ∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°
          =BCsin60°
          =ACsin60°
          =h.(8分)
          證法二:連接AP,則S△APB+S△APC=S△ABC.(6分)

          又h3=0,AB=AC=BC,
          ∴h1+h2+h3=h;(8分)

          證明:(3)圖④中,h1+h2+h3=h.
          過點P作RS∥BC與邊AB、AC相交于R、S.(9分)在△ARS中,由圖②中結論知:h1+h2+0=h-h3
          ∴h1+h2+h3=h.(10分)
          說明:(2)與(3)問,通過作輔助線,利用證全等三角形的方法類似給分;

          (4)由(3)可知:h1+h3+h4=.(11分)
          讓R、S延BR、CS延長線向上平移,當n=0時,圖⑥變?yōu)閳D④,上面的等式就是圖④中的等式,所以上面結論是圖④中結論的推廣.(12分)
          點評:本題是一個探究性很強的題目,主要考查等邊三角形的性質,及結論在等腰梯形中的推廣.
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