Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（0，），直線l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+，l₁與l₂相交于點(diǎn)P．⊙C是一個(gè)動(dòng)圓，圓心C在直線l₁上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a．過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足是點(diǎn)M．
（1）填空：直線l₁的函數(shù)表達(dá)式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)橹本�l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（0，），可設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，將A、B的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求得該解析式，又因直線l₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+，l₁與l₂相交于點(diǎn)P，所以將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得到方程組，解之即可得到交點(diǎn)P的坐標(biāo)，過P作x軸的垂線段，垂足為H，由P的坐標(biāo)可知，AH=EH=3，PH=，所以∠PEA=∠PAE=30°，利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得到∠FPB是60°；
（2）當(dāng)C在射線PA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)⊙C和直線l₂相切時(shí)，D是切點(diǎn)，連接CD，則CD⊥PD．過點(diǎn)P作CM的垂線PG，垂足為G，因?yàn)椤螩PG=∠CAB=30°，PC=PC，所以可證Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上，⊙C和直線l₂相切時(shí)，同理可證Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．取R=-2時(shí)，C在AP的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)镻的橫坐標(biāo)為1，所以a=1+R=-1，C在PA上時(shí)，因?yàn)镻的橫坐標(biāo)為1，所以a=-（R-1）=3-3；
（3）當(dāng)⊙C和直線l₂不相離時(shí)，由（2）知，分兩種情況討論：①當(dāng)0≤a≤-1時(shí)，四邊形是一個(gè)直角梯形，所以有=，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式即可求出S的最大值；
②當(dāng)=3-3≤a＜0時(shí)，顯然⊙C和直線l₂相切即a=3-3時(shí)，S最大．此時(shí)
s_最大值=，綜合以上①和②，即可求出答案．
解答：解：（1）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
∵直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（0，），
∴，
解得，
∴直線l₁的解析式為y=x+；
聯(lián)立l₁與l₂得，
，
解得，
∴P（1，）；
過P作x軸的垂線段，垂足為H，
∵P（1，），
∴AH=EH=3，PH=，
∴∠PEA=∠PAE=30°，
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°；

（2）設(shè)⊙C和直線l₂相切時(shí)的一種情況如圖1所示，D是切點(diǎn)，連接CD，則CD⊥PD．過點(diǎn)P作CM的垂線PG，垂足為G，則Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC），
∴PG=CD=R．
當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上，⊙C和直線l₂相切時(shí)，同理可證．
取R=-2時(shí)，a=1+R=-1，或a=-（R-1）=3-3；

（3）當(dāng)⊙C和直線l₂不相離時(shí)，由（2）知，分兩種情況討論：
①如圖2，當(dāng)0≤a≤-1時(shí)，
=，
時(shí)，（滿足a≤-1），S有最大值．此時(shí)s_最大值=（）；
②當(dāng)=3-3≤a＜0時(shí)，顯然⊙C和直線l₂相切即a=3-3時(shí)，S最大．此時(shí)
s_最大值=．
綜合以上①和②，當(dāng)a=3或a=時(shí)，存在S的最大值，其最大面積為．
點(diǎn)評(píng)：考查一次函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)和圓的相關(guān)知識(shí)，及綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．
此題也較為新穎，符合新課標(biāo)的理念，揭示了求最值的一般方法，本題的難度設(shè)置也較為合適，使同學(xué)們都能有發(fā)揮自己能力的空間．