Question

【題目】類比梯形的定義，我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度數(shù)．

（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

①小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”ABCD(如圖2)，其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB＝CD成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論；

②由此小紅猜想：“對(duì)于任意‘等對(duì)角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎?若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例．

（3）已知：在“等對(duì)角四邊形"ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC=90°，AB＝5，AD＝4．求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）130°，80°；（2）①證明見解析；②不正確，反例見解析；（3）或.

【解析】

試題（1）根據(jù)定義和四邊形內(nèi)角和定理求解即可．

（2）①連接BD，根據(jù)定義以及等腰三角形的判定和性質(zhì)求證即可．

②當(dāng)相等角的兩邊相等時(shí)，結(jié)論不正確．

（3）分∠ADC＝∠ABC＝90°和∠BCD＝∠DAB＝60°兩種情況討論即可．

試題解析：（1）∵等對(duì)角四邊形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，∴．

（2）①如圖，連接BD，

∵AB＝AD，∴．

∵，∴．

∴CB＝CD．

②不正確，反例如圖，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD．

（3）①如圖，當(dāng)∠ADC＝∠ABC＝90°時(shí)，延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F，

∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB=5，∴AE=10．

∴．

∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴．

∴．

②如圖，當(dāng)∠BCD＝∠DAB＝60°時(shí)，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴．

∴．

∵四邊形BFDE是矩形，∵．

∵∠BCD＝60°，∴．∴．

∴