Question

直角三角形AOB在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，OB=2，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，使△PAB是等腰三角形，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）點(diǎn)M是直線BE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作AB的平行線交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、N、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=BE，
設(shè)OE=x，
則（2x）²=x²+，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
設(shè)Y=kx+b代入得；

解得，
∴直線BE的解析式是：，

（2）過(guò)D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標(biāo)是：D；

（3）P₁（-2，0）；P₂（6，0）；；；

（4）存在，
過(guò)D作DM₁⊥y軸交BE于M，過(guò)M₁作AB平行線交y軸于N₁，
則M₁的橫坐標(biāo)是x=-3，代入直線BE的解析式得：
y=-，
∴M₁（-3，-），
②過(guò)D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過(guò)N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標(biāo)是-3，
∴M₂的橫坐標(biāo)是3，
∵M(jìn)₁的坐標(biāo)是（-3，-），D（-3，），
∴DM₁=+=2=NB，
∵BO=2，
∴M₂的縱坐標(biāo)是2+2+=5，
∴M₂（3，5），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)是：（-3，-）和（3，5）．
分析：先利用直角三角形的性質(zhì)（直角三角形中，如果有一個(gè)角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．）和勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)E（-2，0），進(jìn)一步用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+2．
點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是用兩點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式，再利用平行線間的距離處處相等求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理用方程求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，注意一題多解．