Question

如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）．（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)M（

5

2

，

3

2

）是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)．
（1）b=

-

10

3

，c=

4

；
（2）若把△AOB沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A，B，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，C，E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD．若點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，B不重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD交x軸于點(diǎn)Q，連接PM，QM．設(shè)OP的長(zhǎng)為t，△PMQ的面積為S．
①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q，M，C三點(diǎn)共線；
②求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)列式求解即可得到b，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線求解即可得到c；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)菱形的四條邊都相等表示出點(diǎn)D、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）①利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線MC，令y=0解方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得到OQ的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)△OPQ和△OBD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，即可得解；
②設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為N，表示出OQ、QN，然后根據(jù)S_△PMQ=S_梯形MNOP-S_△OPQ-S_△MNQ，列式整理即可得解；根據(jù)點(diǎn)P在線段OB上求出t的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M（

5

2

，

3

2

）是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，
∴-

b

2a

=-

b

2× 2 3

=

5

2

，
解得a=-

10

3

，
∵點(diǎn)B（0，4）在拋物線上，
∴x=0時(shí)，c=4，
∴拋物線為y=

2

3

x²-

10

3

x+4；
故答案為：-

10

3

；4；

（2）∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，
∴點(diǎn)C（5，4），D（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴點(diǎn)C、D都在該拋物線上；

（3）①設(shè)直線MC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

5 2 k+b= 3 2 5k+b=4

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線MC的解析式為y=x-1，
令y=0，則x-1=0，
解得x=1，
∴點(diǎn)Q，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，OQ=1，
∵D（2，0），
∴OD=2，
∵PQ∥BD，
∴△OPQ∽△OBD，
∴

OP

OB

=

OQ

OD

，
即

t

4

=

1

2

，
解得t=2，
即t=2時(shí)，點(diǎn)Q，M，C三點(diǎn)共線；

②如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為N，
則OQ=

OP

OB

•OD=

t

4

×2=

t

2

，ON=

5

2

，QN=

5

2

-

t

2

，
S_△PMQ=S_梯形MNOP-S_△OPQ-S_△MNQ，
=

1

2

×（

3

2

+t）×

5

2

-

1

2

×

t

2

×t-

1

2

×（

5

2

-

t

2

）×

3

2

，
=-

1

4

t²+

13

8

t，
∵點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，B不重合），
∴0＜t＜4，
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

4

t²+

13

8

t（0＜t＜4）；
∵-

1

4

＜0，
∴t=-

13 8

2×(- 1 4 )

=

13

4

時(shí)，有最大值，
最大值為

-( 13 8 )2

4×(- 1 4 )

=

169

64

，此時(shí)P（0，

13

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積的表示，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．