Question

已知點P₁（x₁，1921），P₂（x₂，1921）是在二次函數(shù)y=ax²+bx+2010的圖象上，求二次函數(shù)當x=x₁+x₂的值為

2010

；

已知x=

5- 5

，y=

5+ 5

，則x6+y6=

400

．

Answer 1

分析：①拋物線上，縱坐標相等的兩點是對稱點，其對稱軸是兩點橫坐標的平均數(shù)，再與對稱軸的公式比較可求x的值，將x的值代入函數(shù)解析式可求y的值；
②根據(jù)完全立法和公式將所求的代數(shù)式轉化為x⁶+y⁶=（x²+y²）³-3x²y²（x²+y²）；然后將已知條件代入并求值即可．

解答：解：①∵點P₁、P₂的縱坐標都是1921，
∴P₁、P₂是拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，
此時，對稱軸-

b

2a

=

x1+x2

2

，即x=-

b

a

，
把x=-

b

a

代入二次函數(shù)y=ax²+bx+2010中，得
y=2010；
②∵x=

5- 5

，y=

5+ 5

，
∴x⁶+y⁶
=（x²+y²）³-3x²y²（x²+y²）
=（5-

5

+5+

5

）³-3×（5-

5

）（5+

5

）（5-

5

+5+

5

）
=10³-3×20×10
=400；
故答案是：2010；400．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．利用立方公式進行根式的計算時，首先會把根號里面的代數(shù)式變?yōu)榱⒎焦�式的形式，然后根�?jù)立方根的性質去掉根號即可解決問題．其中完全立方公式：（a±b）³=a³±3a²b+3ab²±b³．