Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰梯形OABC，CB∥OA，且點(diǎn)A在x軸正半軸上．已知C（2，4），BC=4．
（1）求過(guò)O、C、B三點(diǎn)的拋物線解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（2）經(jīng)過(guò)O、C、B三點(diǎn)的拋物線上是否存在P點(diǎn)（與原點(diǎn)O不重合），使得P點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C（2，4），BC=4且BC∥OA，能得出B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），把O、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得出一個(gè)三元一次方程組，求出方程組的解，即求出a、b、c的值，代入解析式即可；
（2）根據(jù)題意，設(shè)P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），分別把（a，a）和（a，-a）代入（1）求出的拋物線即可求出a的值，即得出答案．

解答：解：（1）∵C（2，4），BC=4且BC∥OA，
∴B（6，4），
設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0）
將O（0，0），C（2，4），B（6，4）代入得

c=0 4a+2b+c=4

且

4a+2b+c=4 36a+6b+c=4

，
解得：

a=- 1 3 b= 8 3 c=0

，
∴y=-

1

3

x2+

8

3

x，
∴頂點(diǎn)(4，

16

3

)對(duì)稱軸：直線x=4，
答：過(guò)O、C、B三點(diǎn)的拋物線解析式是y=-

1

3

x2+

8

3

x，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4，

16

3

)，對(duì)稱軸是直線x=4．

（2）解：根據(jù)題意，設(shè)P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），
將P（a，a）代入拋物線得-

1

3

a2+

8

3

a=a解得a₁=5，a₂=0（舍），
將P（a，-a）代入拋物線得-

1

3

a2+

8

3

a=-a解得a₁=11，a₂=0（舍），
∴符合條件的點(diǎn)p（5，5）和p（11，-11），
答：存在，P點(diǎn)坐標(biāo)是（5，5）和（11，-11）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解三元一次方程組，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目．