Question

Rt△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的初始位置如圖1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，點(diǎn)A在x軸上由原點(diǎn)O開(kāi)始向右滑動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)，如圖2所示；當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至點(diǎn)O重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊙G始終以AB為直徑．

（1）試判斷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，原點(diǎn)O與⊙G的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），試求出y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)對(duì)問(wèn)題（1）、（2）的探究，請(qǐng)你求出整個(gè)過(guò)程中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)镺G始終是⊙G的半徑，所以原點(diǎn)O始終在⊙G上；
（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弧AC的長(zhǎng)保持不變，弧AC所對(duì)應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，∠xOC=30°，y=．即自變量x的取值范圍是 ≤x≤3 ；
（3）利用勾股定理可求得，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程s=3 ．
解答：解：（1）原點(diǎn)O與⊙G的位置關(guān)系是：點(diǎn)O在⊙G上；
如圖3，連接OG，∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)，
∴GO=AB=半徑，故原點(diǎn)O始終在⊙G上．

（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，∴∠ABC=30°．
連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y與x的關(guān)系式是：．
自變量x的取值范圍是．

（3）∵由（2）中的結(jié)論可知，點(diǎn)C在與x軸夾角為30°的射線上運(yùn)動(dòng)．
∴如圖5，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如圖6，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴總路徑為：C₁C₂+C₂C₃=．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．