Question

（2012•呼倫貝爾）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC≌Rt△FED，點(diǎn)C、D與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A、F在y軸上重合，∠B=∠E=30°，AC=FD=

3

．△FED不動，△ABC沿直線BE以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，直到點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止，設(shè)移動x秒后兩個(gè)三角形重疊部分的面積為s．

（1）求出圖①中點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖②，當(dāng)x=4秒時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，

3

3

），求出過F、M、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；此拋物線上有一動點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，以2為半徑的⊙P在運(yùn)動過程中是否存在與y軸相切的情況？若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）求出整個(gè)運(yùn)動過程中s與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）求圖①中點(diǎn)B的坐標(biāo)，就需要求出線段BC的長，在Rt△ABC中，已知AC的長以及∠B的度數(shù)，由∠B的正弦函數(shù)即可求出BC的長；
（2）首先需要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，依題意，點(diǎn)A向右平移了4個(gè)單位，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)易知，而點(diǎn)F、M坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；在求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)，需要注意⊙P與y軸相切的條件，⊙P的半徑為2，那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)必為±2，代入前面求得的拋物線解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）此題需要分作兩個(gè)階段考慮：
①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是五邊形，那么它的面積可由直角梯形的面積減去左上角的小三角形的面積求得；
②當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到線段DE上時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是等腰三角形，BE的長易知，而BE邊上的高為

3

3

×

1

2

BE，則面積易得．

解答：解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AC=

3

，∠B=30°；
∴BC=

3

AC=3，即 B（-3，0）；

（2）如圖②，∵x=4，∴A（4，

3

）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：

c= 3 4a+2b+c= 3 3 16a+4b+c= 3

，
解得

a= 3 6 b=- 2 3 3 c= 3

，
∴拋物線的解析式：y=

3

6

x²-

2 3

3

x+

3

．
若半徑為2的⊙P與y軸相切，那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或-2；
當(dāng)x=2時(shí)，y=

3

6

x²-

2 3

3

x+

3

=

3

3

；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=

3

6

x²-

2 3

3

x+

3

=3

3

；
∴存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（2，

3

3

）或（-2，3

3

）；

（3）當(dāng)點(diǎn)B、O重合時(shí)，x=3，所以整個(gè)過程可分作兩個(gè)階段：
①0≤x＜3時(shí)，如圖①；
BO=3-x，CD=x，OG=CH=

3

3

BO=

3

3

（3-x），F(xiàn)G=

3

-

3

3

（3-x）=

3

3

x；
∴s=S_梯形FDCH-S_△FGM
=

1

2

×（

3

+

3

-

3

3

x）×x-

1

2

×

3

3

x×

1

2

x
=-

3

4

x²+

3

x；
②3≤x≤6時(shí)，如圖②，BE=6-x；
s=S_△BME=

1

2

×（6-x）×（

6-x

2

×

3

3

）=

3

12

x²-

3

x+3

3

；
綜上，s=

- 3 4 x2+ 3 x (0≤x＜3) 3 12 x2- 3 x+3 3  (3≤x≤6)

．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、直線與圓的位置關(guān)系以及圖形面積的求法等綜合知識；最后一題中，要注意抓住圖形平移過程中的關(guān)鍵位置，據(jù)此來對函數(shù)進(jìn)行分段，以便做到不重不漏．