Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的兩個(gè)根。
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D（4，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

Answer 1

解：（1）∵x2-4x-12=0， ∴x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， 又∵拋物線過點(diǎn)A、B、C， 故設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求得， ∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），過點(diǎn)N作作NH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖（1））， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）， ∴AB=8，AM=m+2， ∵M(jìn)N∥BC， ∴△MNA∽△ABC， ∴ ∴ ∴ ∴ = = ∴當(dāng)m=2時(shí)，S△CMN有最大值4， 此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）；
（3）∵點(diǎn)D（4，k）在拋物線上， ∴當(dāng)x=4時(shí)，k=-4， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，-4）， ①如圖（2），當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí)，AFDE， ∵D（4，-4）， ∴DE=4 ∴F1（-6，0），F(xiàn)2（2，0）， ②如圖（3），當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時(shí)，設(shè)F（n，0）， 則平行四邊形的對稱中心為（，0）， ∴E'的坐標(biāo)為（n-6，4）， 把E'（n-6，4）代入，得n2-16n+36=0， 解得n=，  ，。