Question

【題目】如圖，直線交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，直線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)，且兩直線交于點(diǎn)B(2，m).

(1)求m的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線在第一象限內(nèi)的部分有一點(diǎn)E，且，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并在y軸上找一點(diǎn)P，使得BP+PE的值最小，求出P的坐標(biāo)和這個最小值；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，且△BPQ為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2）E(6，2) ，P(0，-1)，最小值為：；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或（0，－3）或（0，）.

【解析】

（1）首先易求m的值，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式即可；

（2）求出D（1，0），得出AD＝3，根據(jù)且點(diǎn)E在第一象限內(nèi)的直線上，可得E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，進(jìn)而得到E（6，2），作點(diǎn)B(2，-2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B1(-2，-2)，連接B1E交y軸于點(diǎn)P，此時B1P+PE最小，用兩點(diǎn)間距離公式可求這個最小值，然后再用待定系數(shù)法求出直線B1E的解析式，進(jìn)而可得P的坐標(biāo)；

（3）分三種情況：①當(dāng)BP＝PQ時，求出BP，即可得到點(diǎn)Q坐標(biāo)；②當(dāng)BP＝BQ時，則點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，進(jìn)而得到點(diǎn)Q坐標(biāo)；③當(dāng)BQ＝PQ時，可根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列方程求出點(diǎn)Q坐標(biāo).

解：（1）∵點(diǎn)B(2，m)在直線上，

∴，

∴B(2，-2)，

設(shè)直線，

∵A(4，0)，B(2，-2)在直線上，

∴，解得：，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：；

（2）令-2x+2=0，解得 x=1，

∴D(1，0)，

∵A(4，0)，B(2，-2)，

∴AD=3，

由條件設(shè)E(a，b)，

∵，

∴，

∵E(a，b)在第一象限內(nèi)的直線上，

∴b=2，

∴a=6，即E(6，2) ，

作點(diǎn)B(2，-2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B1(-2，-2)，連接B1E交y軸于點(diǎn)P，此時BP+PE最小，

最小值為，

設(shè)直線B1E的解析式為y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B1E的解析式為，

當(dāng)x=0時，y=－1，

∴P(0，-1)；

（3）由題意得：B(2，-2)，P(0，-1)，△BPQ為等腰三角形，

①當(dāng)BP＝PQ時，

∵，

∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為或，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：或；

②當(dāng)BP＝BQ時，則點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，易得點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為－3，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（0，－3）；

③當(dāng)BQ＝PQ時，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，n），

則，

解得：，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（0，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或（0，－3）或（0，）.