Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF可能是矩形嗎？說(shuō)明理由；
（3）若在AC邊上存在點(diǎn)P，使四邊形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

．求此時(shí)∠BAC的大�。�

Answer 1

分析：（1）可證明PE=PC，PF=PC，從而得到PE=PF；
（2）由一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直，得出∠ECF=90°，故要使四邊形AECF是矩形，只需四邊形AECF是平行四邊形即可．由（1）知PE=PF，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
（3）由正方形的對(duì)角線相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的大�。�

解答：（1）證明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：
由（1）可知PE=PF，
∵P是AC中點(diǎn)，
∴AP=PC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵CE、CF分別平分∠BCA、∠ACD，
且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=

1

2

（∠BCA+∠ACD）=

1

2

×180°=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形；

（3）解：若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．