Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，C（

 

）、D（

 

）；
（2）求出過A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，易求得A、B的坐標(biāo)，過C作x軸的垂線，設(shè)垂足為M，通過構(gòu)建的全等三角形△AOB和△BMC所得到的相等線段即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知拋物線圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）直線y=-

1

2

x+1中，
令y=0，得x=2，令x=0，得y=1；
∴A（0，1），B（2，0）；
過C作CM⊥x軸于M；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM=90°，
即∠BAO=∠CBM；
∴Rt△ABO≌Rt△BCM；
∴BM=OA=1，CM=OB=2，即OM=OB+BM=3；
∴C（3，2），
過D點(diǎn)作DF⊥x軸于點(diǎn)F，可知OF=1，DF=3，
∴D（1，3）；
∴C、D的坐標(biāo)分別為：C（3，2），D（1，3）（每空2分）

（2）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）（1分）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
把點(diǎn)A（0，1），C（3，2），D（1，3）代入得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

（2分）
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

∴二次函數(shù)的解析式為y=-

5

6

x2+

17

6

x+1．（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)解析式的確定，此題是基礎(chǔ)題，需要熟練掌握．