Question

如圖，⊙O與矩形ABCD的邊BC相切于點F，與邊AB的延長線相切于點E，且頂點D剛好在直線EF上．
（1）圖中共有哪些個角等于45°？不添加任何輔助線，直接寫出角的名稱即可；
（2）若AB=2，AD=3，求⊙O的半徑及圖中陰影部分面積；
（3）點P在矩形ABCD的邊AD上移動，連接PF并延長交⊙O于點Q，那么當(dāng)點P移動時，請你探究∠DPF與∠FEQ的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線長定理發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，再進(jìn)一步結(jié)合對頂角相等和平行線的性質(zhì)寫出所有等于45°的角；
（2）連接OF、OE．發(fā)現(xiàn)正方形OFBE，要求圓的半徑，即求BF的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理均可求解，陰影部分的面積即為扇形OFE的面積減去三角形OEF的面積；
（3）根據(jù)圓周角定理求得∠Q=45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證明兩角相等．

解答：解：（1）∠BEF、∠BFE、∠CDF、∠CFD、∠ADF．

（2）連接OF、OE，則四邊形OEBF是正方形．
設(shè)圓的半徑是r．
∵AD∥BC，
∴

BF

AD

=

BE

AE

，
即

r

3

=

r

2+r

，
r=1或r=0（不合題意，應(yīng)舍去）．
即圓的半徑是1．
陰影部分的面積=

1

4

π-

1

2

．
解：∠DPF=∠FEQ．理由如下：
∵BE、BF是圓的切線，
∴BE=BF．
∴∠BFE=∠BEF=45°．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=45°．
∵四邊形OEBF是正方形，
∴∠EOF=90°．
∴∠Q=45°=∠ADF．
又∠PFD=∠QFE，
∴∠DPF=∠FEQ．

點評：此題綜合運用了切線長定理、正方形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及扇形的面積公式．