Question

(2004　山東青島)如圖所示，AB為⊙O的直徑，D是的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于F．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)如圖 連接OD、DC，OD與BC相交于點G． ∵D是的中點，∴OD垂直平分BC． ∵AB為⊙O的直徑， ∴AC⊥BC． ∴OD∥AE． ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE． ∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線． (2)由(1)，知OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC． ∴四邊形DECG為矩形． ∴CG=DE=3．∴BC=6． ∵⊙O的半徑為5，即AB=10， ∴． 由(1)知：DE為⊙O的切線． ∴． 即． 解得AE=9． ∵D為的中點，∴∠EAD=∠FAB． ∵BF切⊙O于B，∴∠FBA=90°． ∵DE⊥AC于E，∴∠E=90°． ∴∠FBA=∠E．∴△AED∽△ABF． ∴．即． ∴．