Question

如圖，等腰三角形ABC，AB=AC，以AB為直徑作圓O分別交AC、BC于D、E兩點，過B點的切線交OE的延長線于點F，連接FD，下列結論：①，②FD是⊙O的切線；③∠C=∠DFB；④E是△BDF的內(nèi)心．
其中一定正確的結論是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
分析：首先利用三角形的中位線定理證明OE∥AC，然后證得∠BOE=∠EOD可得：①，再證明△FDO≌△FBO，可以得到DF是圓的切線；利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角即可判斷③的正誤；然后根據(jù)角相等證明E在∠FAB和∠FBD的角平分線上和E在∠FBD的平分線上，利用內(nèi)心的定義可得到④的正誤．
解答：連接AE，DO，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，
又∵OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，
∵∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠EOD，
∴，
故①正確；
在△FDO和△FBO中，
∵，
∴△FDO≌△FBO（SAS），
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即△FDO是直角三角形，DF是⊙O的切線．
故②正確；
設∠C=x°，則∠CAB=（180-2x）°，
則在直角△ABD中，∠ABD=90°-（180-2x）°=（2x-90）°，
∵BF是切線，則∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°-∠ABD=90°-（2x-90）°=（180-2x）°，
在等腰△BDF中，∠DFB=180°-2∠DBF=180°-2（180-2x）°=（4x-180）°，
而4x-180與x不一定相等，故③不正確．
連接DE，DB，
∵FD、FB是圓的切線，
∴FD=FB，
又∵OB=OD
∴OF是BD的中垂線，
∴E在∠FBD的平分線上，
∵，
∴∠FBE=∠CBD，∠FDE=∠DEB，
∴E在∠FDB和∠FBD的角平分線上，
∴E是△BFD的內(nèi)心，故④正確．
故選：B．
點評：此題主要考查了三角形的內(nèi)心、外心以及切線的判定，解答的關鍵是正確證得DF是圓的切線．