Question

已知，△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角板DEF如圖放置，讓三角板在BC所在的直線上向右平移，如圖1，當點E與點B重合時，點A恰好落在三角形的斜邊DF上．
（1）利用圖1證明：EF=2BC；
（2）在三角板的平移過程中，在圖2中線段EB=AH是否始終成立（假定AB，AC與三角板斜邊的交點為G、H）？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°
∴∠CAF=60°-30°=30°．
∴∠CAF=∠F，
∴CF=AC，
∴CF=AC=EC，
∴EF=2BC．

（2）成立．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°
∴∠CHF=60°-30°=30°．
∴∠CHF=∠F，
∴CH=CF．
∵EF=2BC，
∴BE+CF=BC．
又∵AH+CH=AC，AC=BC，
∴AH=BE．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠ACB=60°，AC=BC．結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得∠CAF=60°-30°=30°，則CF=AC，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的證明方法，得到CH=CF．根據(jù)（1）中的結(jié)論，知BE+CF=AC，從而證明結(jié)論．
點評：此題綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)．