Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿MN折疊，使點B與點D重合．
（1）求證：DM=DN；
（2）當AB和AD滿足什么數(shù)量關系時，△DMN是等邊三角形？并說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知∠1=∠2，

又AB∥CD，得∠1=∠3，

則∠2=∠3．

故DM=DN

（2）解：當AB= AD時，△DMN是等邊三角形．

證明：連接BD．

∵∠A=90°，AB= AD，

∴tan∠ABD= = ，

∴∠ABD=30°．

∵BM=MD，

∴∠ABD=∠MDB=30°，

∴∠BMD=120°．

∴∠1=∠2=60°．

又DM=DN，

∴△DMN是等邊三角形．

【解析】（1）根據矩形對邊平行得∠1=∠3，根據折疊的性質得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；（2）假設△DMN是等邊三角形，則∠ADM=30°．有MD=2AM，AD= AM，AB=3AM，得AB= AD．
【考點精析】關于本題考查的等邊三角形的判定和翻折變換（折疊問題），需要了解三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．